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V2EX 提问指南

这是一个创建于 260 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

用小学知识讲解下面的问题

有一串数排成一行，第一个数是 3 ，第二个数是 10 ，从第三个数开始，每个数是前面两个数的和。在这一串数中，第 1991 个数被 3 除，余数是几?

它的回答如下：好的，让我们来用更简单的方式解释。

首先，我们有一个数列，从 3 开始。然后，每个数都是前面两个数相加而来的。比如，第一个数是 3 ，第二个数是 10 （ 3 + 10 = 13 ），第三个数是 13 （ 10 + 13 = 23 ），以此类推。

现在，我们要找出第 1991 个数是多少，并且看看它除以 3 的余数是多少。

我们可以用一个小技巧：我们不需要真的一个一个地算出所有的数，我们只需要关注它们除以 3 的余数。

开始的几个数除以 3 的余数是这样的：

3 ÷ 3 = 1 ，余数是 0 10 ÷ 3 = 3 余 1 13 ÷ 3 = 4 余 1 23 ÷ 3 = 7 余 2 36 ÷ 3 = 12 余 0 我们发现了一个模式。每隔两个数，余数会重复一次。这意味着，第 1991 个数的余数应该和第三个数的余数相同，也就是 1 。

所以，第 1991 个数除以 3 的余数是 1 。

谁方便用 gtp4 给测试下，能否给出准确答案

第 1 条附言 · 259 天前

chatGPT3.5 跟 chatGPT4 的回答思路可能更适合小朋友理解，基本上也是我能想到的讲解方法；虽然 3.5 回答的答案是错误的，大概因为他的思考深度过短。

gemini 的基础版跟高级版回答的思路差不多，答案也是是对的。

3 条回复 • 2024-03-19 11:45:04 +08:00

churchill

260 天前

好家伙，我上了个假小学
答案对不对没细看，思路应该是没问题的

这个问题实际上是在讨论一个特定的斐波那契数列的性质，其中数列是以 3 和 10 作为前两项的。斐波那契数列的一般形式是从第三项开始，每一项都是前两项的和。对于这个问题，数列是这样的：3, 10, 13, 23, 36, 59, ...

要找出第 1991 个数除以 3 的余数，我们不需要直接计算出这个数是多少，而是可以观察斐波那契数列模 3 的周期性。

首先，我们知道斐波那契数列的前两项模 3 的结果是：
- 3 % 3 = 0
- 10 % 3 = 1

接下来，我们可以继续计算数列中后续数的模 3 结果：
- (3 + 10) % 3 = 13 % 3 = 1
- (10 + 13) % 3 = 23 % 3 = 2
- (13 + 23) % 3 = 36 % 3 = 0
- (23 + 36) % 3 = 59 % 3 = 2
- (36 + 59) % 3 = 95 % 3 = 2
- (59 + 95) % 3 = 154 % 3 = 1
- ...

我们可以看到，模 3 的结果开始循环：0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, ... 这个循环的长度是 8 。这意味着每 8 个数，模 3 的结果就会重复一次。

因此，要找出第 1991 个数模 3 的结果，我们只需要找出 1991 除以循环长度 8 的余数，然后确定这个余数对应的模 3 结果。

1991 除以 8 的余数是 7 （因为 1991 = 248 * 8 + 7 ），这意味着第 1991 个数在模 3 循环中的位置与第 7 个数相同。根据我们之前的观察，第 7 个数模 3 的结果是 2 。

所以，第 1991 个数除以 3 的余数是 2 。

edwardhodges

259 天前

以下是 Gemini Advanced 的回答
---
首先，我们计算一下第 1991 个数是多少。

从第三个数开始，每个数是前面两个数的和，所以这是一个斐波那契数列。

斐波那契数列的前几项是：

3, 10, 13, 23, 36, 59, 95, 154, 249, 403, 652, 1055, 1707, 2762, 4469, 7231, 11700, 18931, 30631, 49562, ...

我们可以看到，第 1991 个数是 49562 。

然后，我们计算一下 49562 除以 3 的余数。

49562 ÷ 3 = 16520 R 2

所以，第 1991 个数被 3 除，余数是 2 。

答案：2

chesha1

259 天前

GPT-4-0125 回答如下：

这个问题可以用小学知识来解决，我们首先要理解这个数列是怎么形成的。给定的数列是一个特殊的数列，它从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。这种数列叫做斐波那契数列。按照题目中的规则，数列的开始几个数是这样的：

1. 第一个数是 3
2. 第二个数是 10
3. 第三个数是 3 + 10 = 13
4. 第四个数是 10 + 13 = 23
5. 第五个数是 13 + 23 = 36
6. ...

现在，我们要找出第 1991 个数除以 3 的余数。

在小学数学中，我们学习了除法和余数的概念。要找到一个数除以 3 的余数，我们只需要知道这个数在除以 3 时剩下多少。但是，直接计算第 1991 个数会非常困难，因为那个数会非常大。幸运的是，我们可以找到一个更简单的方法来解决这个问题，那就是寻找模式。

在斐波那契数列中，每个数都是前两个数的和，这意味着如果前两个数在除以 3 时的余数是已知的，那么我们可以用这些余数来找出下一个数除以 3 的余数。让我们看看这个数列的开始几个数除以 3 的余数是什么：

1. 3 除以 3 余 0
2. 10 除以 3 余 1
3. 13 除以 3 余 1
4. 23 除以 3 余 2
5. 36 除以 3 余 0
6. ...

我们可以看到，余数也会形成一种模式。但是，要准确找出第 1991 个数的余数，我们需要观察这个模式并理解它如何重复。在斐波那契数列中，由于每个数都是前两个数的和，这个模式可能会在一定数量的数后重复。

为了简化这个问题，我们可以手动计算更多的数来寻找模式。但实际上，由于这是一个理论问题，我们需要知道数列的特性。斐波那契数列模 3 的余数会形成周期性重复的模式。这个模式是：0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, ...，然后这个模式会重复。这个重复的周期称为“皮萨诺周期”。对于模 3 的情况，周期长度是 8 。

现在，我们知道余数的模式每 8 个数就会重复一次，我们可以通过将 1991 除以 8 来找到第 1991 个数在模式中的位置。1991 除以 8 得到的商是 248 次完整的周期，余数是 7 。这意味着第 1991 个数在余数模式中的位置与周期中的第 7 个位置相同。

从我们之前找到的模式中，第 7 个数的余数是 2 。因此，第 1991 个数除以 3 的余数是 2 。