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当 x 趋近于 0 和正无穷时， 求 y= x ln(1+1/x) 的极限
正确答案：
当 x → 0 时，y 趋近于 0 ；
当 x → +∞ 是，y 趋近于 1 。
想要知道 GPT4 ，Claude Pro 和 Gemini Pro 在这类公式推导上的表现，请充值过的 v 友帮忙测试一下，谢谢！
顺便帮大家自查一下高等数学（函数极限与洛必达法则）还记得多少，哈哈！
46 条回复 • 2024-05-02 11:36:24 +08:00
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SWALLOWW 221 天前
gpt4:
....... ....... 综上所述，当 𝑥 x 趋近于正无穷时，极限值为 1 ；而当 𝑥 x 趋近于 0 时，极限值为 0 。 |
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kenneth104 221 天前
GLM4
当 x 趋近于 0 时，函数的极限为 0 当 x 趋近于正无穷时，该函数的极限为 1 |
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zzzsy 221 天前
llama3-70b-instruct-zh:
当 x → 0 时，y → 1 ； 当 x → +∞ 时，y → 0 。不太聪明🧐 |
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Voyty 221 天前
为了找到函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两种情况。
### 当 \( x \) 趋近于正无穷时 首先，令 \( u = \frac{1}{x} \)，那么当 \( x \to \infty \) 时，\( u \to 0 \)。此时，函数可以重写为： \[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \] 其中 \( u = \frac{1}{x} \)。 当 \( u \to 0 \) 时，我们可以使用泰勒展开（ Taylor expansion ）对 \(\ln(1+u)\) 进行近似： \[ \ln(1 + u) \approx u \] 因此， \[ \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{u}{u} = 1 \] 所以当 \( x \to \infty \) 时，\( y \) 趋近于 1 。 ### 当 \( x \) 趋近于 0 时 这部分需要小心处理。当 \( x \to 0^+ \)（从正数一侧接近 0 ）时，\( u = \frac{1}{x} \to \infty \)。此时，我们同样考虑 \( \ln(1 + u) \)： 当 \( u \to \infty \) 时，\(\ln(1+u)\) 的增长速度慢于 \( u \) 本身。因此， \[ \ln(1 + u) \approx \ln(u) \] 所以， \[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{\ln(u)}{u} \] 我们知道对于很大的 \( u \)，\( \ln(u) \) 相对于 \( u \) 增长得慢得多。实际上，由于 \[ \lim_{u \to \infty} \frac{\ln(u)}{u} = 0 \] （这可以通过洛必达法则或者直观理解 \(\ln(u)\) 的增长速度不及 \( u \) 的增长速度来证明。） 因此，当 \( x \to 0^+ \) 时，\( y \to 0 \)。 ### 总结 - 当 \( x \to \infty \) 时，\( y \to 1 \)。 - 当 \( x \to 0^+ \) 时，\( y \to 0 \)。 |
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goodryb 221 天前
qwen 说两种情况结果都是 0 ，看起来也不太聪明的样子
https://tongyi.aliyun.com/qianwen/share?shareId=43a19b2b-c2ea-404d-a21d-78eaa24dc723 |
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hooych 221 天前
0/0 型、∞/∞型 都先洛一下再说。
llama3 答都是 0 ，不太聪明 |
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hooych 221 天前
出乎意料的是，Phi-3 mini 知道用 L'Hôpital's Rule ，但是当 x 趋近于 正无穷时答错了，回答了 1/2
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codebs 221 天前
总结：
当 趋近于正无穷时，极限为 1 。 当 趋近于 时，极限为 0 。 当 趋近于 时，函数未定义。 |
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ayase252 221 天前
gemini pro
Here's how to find the limits of x*ln(1+1/x) as x approaches 0 and positive infinity: Case 1: x approaches 0 We cannot directly substitute x = 0 into the expression, as it results in an indeterminate form. Let's use L'Hôpital's rule: Rewrite the expression: x*ln(1+1/x) = ln(1+1/x) / (1/x) Now the form is suitable for L'Hôpital's rule (both numerator and denominator approach 0 as x approaches 0). Apply L'Hôpital's Rule: lim (x->0) [ln(1+1/x) / (1/x)] = lim (x->0) [d/dx(ln(1+1/x)) / d/dx(1/x)] = lim (x->0) [-1/(x+x^2) / (-1/x^2)] = lim (x->0) [x / (1+x)] = 0 Therefore, the limit of x*ln(1+1/x) as x approaches 0 is 0. Case 2: x approaches positive infinity Rewrite the expression: x*ln(1+1/x) = ln(1 + 1/x) / (1/x) Again, this is an indeterminate form (both numerator and denominator approach 0 as x approaches infinity). Apply L'Hôpital's Rule: lim (x-> ∞) [ln(1 + 1/x) / (1/x)] = lim (x-> ∞) [d/dx(ln(1 + 1/x)) / d/dx(1/x)] = lim (x-> ∞) [-1/(x+x^2) / (-1/x^2)] = lim (x-> ∞) [x / (x+1)] = 1 (dividing both numerator and denominator by x) Therefore, the limit of x*ln(1+1/x) as x approaches positive infinity is 1. |
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hhjuteman 221 天前
Here is how we can find the limit of y = x ln(1 + 1/x) as x approaches 0 and positive infinity:
Limit as x → 0⁺ As x approaches 0 from the right side, 1/x approaches positive infinity. So we can rewrite the limit: lim x→0⁺ x ln(1 + 1/x) = lim x→0⁺ x ln(1/x) Now, using the properties of logarithms, ln(1/x) = -ln(x). So: = lim x→0⁺ -x ln(x) This is an indeterminate form of type 0 ⋅ ∞. We can use L'Hôpital's rule to evaluate it: = lim x→0⁺ -ln(x) - 1 = -∞ Therefore, lim x→0⁺ x ln(1 + 1/x) = -∞ Limit as x → +∞ As x approaches positive infinity, 1/x approaches 0. Using the fact that ln(1+u) ≈ u for small u: lim x→+∞ x ln(1 + 1/x) ≈ lim x→+∞ x ⋅ 1/x = lim x→+∞ 1 = 1 Therefore, lim x→+∞ x ln(1 + 1/x) = 1 In summary: As x → 0⁺, y = x ln(1 + 1/x) → -∞ As x → +∞, y = x ln(1 + 1/x) → 1 claude3 opus 很准。 |
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mumbler 221 天前
初中以上的数学目前还没法
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gxt92 221 天前
claude-3-opus-20240229
当 x 趋近于 0 时，y 的极限为 0 ；当 x 趋近于正无穷时，y 的极限为 1 。 claude-3-haiku-20240307 当 x 趋近于 0 和正无穷时,函数 y = x ln(1+1/x) 的极限都是 1 claude-3-sonnet-20240229 当 x 趋近于 0 和正无穷时,极限 y = x ln(1+1/x) 的值均为 1 。 貌似只有 opus 是对的 |
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mooooooooooe 221 天前
用的 gpt plus 的 math gpts 回答的挺准确的甚至给出了 python 代码，v 站不支持 LaTeX 格式😅
import sympy as sp x = sp.symbols('x') expr = x * sp.log(1 + 1/x) # 当 x 趋近于 0+ 时 limit_zero = sp.limit(expr, x, 0, dir='+') # 当 x 趋近于 正无穷时 limit_infinity = sp.limit(expr, x, sp.oo) limit_zero, limit_infinity |
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lxyv 221 天前
kimi
为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两个情况。 ### 当 \( x \) 趋近于 0 时 当 \( x \) 趋近于 0 时，我们有： \[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \] 由于 \( \ln(1) = 0 \)，我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \)，然后应用对数的性质： \[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \] 当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷，因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \)，所以： \[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \] 由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶，所以： \[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \] ### 当 \( x \) 趋近于正无穷时 当 \( x \) 趋近于正无穷时，我们有： \[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \] 由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ，我们可以利用对数的泰勒展开： \[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \] 其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \)，当 \( x \) 趋近于正无穷时，\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此： \[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \] \[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \] 由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量，当 \( x \) 趋近于正无穷时，这一项将趋近于 0 。因此： \[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \] 综上所述，函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ，在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。 |
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justsomac 221 天前
免费 claude：
``` 当 x 趋近于 0 时: 利用洛必达法则,对 y=x ln(1+1/x)求极限。 lim(x→0) [x ln(1+1/x)] = lim(x→0) [ln(1+1/x)] / [1/x] = lim(x→0) [(1+1/x)^(-1)] (利用对数导数公式) = lim(x→0) [1/(1+1/x)] = 1 (利用简单加减乘除求极限法则) 因此,当 x 趋近于 0 时,y=x ln(1+1/x)的极限为 0 。 当 x 趋近于正无穷时: lim(x→+∞) [x ln(1+1/x)] = lim(x→+∞) ln(1+1/x) / [1/x] (利用洛必达法则) = lim(x→+∞) [(1+1/x)^(-1)] (利用对数导数公式) = lim(x→+∞) 1/(1+1/x) = 1 (利用无穷小比较原理) 因此,当 x 趋近于正无穷时,y=x ln(1+1/x)的极限为 1 。 综上所述: lim(x→0) [x ln(1+1/x)] = 0 lim(x→+∞) [x ln(1+1/x)] = 1 ``` |
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lihaokey 221 天前
我的 GPT4 为啥说都是 1
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lihaokey 221 天前
微软 copilot 的回答：正在执行任务:
求 y= x ln(1+1/x) 当 x 趋近于 0 和正无穷时的极限 当 ( x ) 趋近于 0 时，( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 的极限是 0 。 当 ( x ) 趋近于正无穷时，( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 的极限是 1 。 如果您有其他数学问题或需要进一步的帮助，请告诉我！ |
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Track13 221 天前
gemini-pro
**当 x 趋近于 0 时：** 使用洛必达法则： ``` lim (x->0) x ln(1+1/x) = lim (x->0) (ln(1+1/x)) / (1/x) = lim (x->0) 1/(1+1/x) * (-1/x^2) = 0 ``` **当 x 趋近于正无穷时：** 使用等价无穷小： ``` ln(1+1/x) ~ 1/x ``` 因此： ``` lim (x->∞) x ln(1+1/x) = lim (x->∞) x * (1/x) = lim (x->∞) 1 = 1 ``` 因此，极限为： ``` lim (x->0) x ln(1+1/x) = 0 lim (x->∞) x ln(1+1/x) = 1 ``` |
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lihaokey 221 天前
我要 copilot 给出的推导过程：当 ( x ) 趋近于 0 时，函数 ( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 可以重写为 ( y = \ln((1 + \frac{1}{x})^x) )。根据 ( e ) 的定义，当 ( x ) 趋近于 0 时，( (1 + \frac{1}{x})^x ) 趋近于 ( e^1 )，即 ( e )。因此，( \ln(e) ) 是 1 ，但由于 ( x ) 乘以 ( \ln(e) )，结果是 ( x ) 趋近于 0 ，所以极限是 0 。
当 ( x ) 趋近于正无穷时，( (1 + \frac{1}{x})^x ) 趋近于 ( e^0 )，即 1 。因此，( \ln(1) ) 是 0 ，所以极限是 1 。 |
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min 221 天前
Claude-3-Opus：
好的,我们来解决这个问题。我们需要分别计算 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。 第一步:当 x 趋近于 0 时。 令 t = 1/x,则当 x 趋近于 0 时,t 趋近于正无穷。 原式可以写成: lim(x→0) x ln(1+1/x) = lim(t→∞) ln(1+t)/t 使用洛必达法则,对分子和分母分别求导: (ln(1+t))' / t' = 1/(1+t) / 1 = 1/(1+t) 当 t 趋近于正无穷时,1/(1+t) 趋近于 0 。 所以,lim(x→0) x ln(1+1/x) = 0 第二步:当 x 趋近于正无穷时。 lim(x→∞) x ln(1+1/x) = lim(x→∞) ln((1+1/x)^x) 令 t = 1/x,则当 x 趋近于正无穷时,t 趋近于 0 。 (1+1/x)^x = (1+t)^(1/t) 当 t 趋近于 0 时,(1+t)^(1/t) 趋近于 e 。 所以,lim(x→∞) x ln(1+1/x) = ln(e) = 1 综上所述: 当 x 趋近于 0 时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 0 。 当 x 趋近于正无穷时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 1 。 -------------------------------------------------------------------------------------- GPT-4： 要解决这个问题，我们需要找到函数 � = � ln ( 1 + 1 � ) y=xln(1+ x 1 ) 当 � x 趋近于 0 和正无穷时的极限。我们将分步来解决这个问题。 当 � x 趋近于 0 时 首先，我们可以通过变量替换来简化极限。令 � = 1 � t= x 1 ，则当 � x 趋近于 0 时， � t 趋近于正无穷。原函数变为： � = � ln ( 1 + 1 � ) = 1 � ln ( 1 + � ) y=xln(1+ x 1 )= t 1 ln(1+t) 我们需要求解的极限变为： lim � → ∞ ln ( 1 + � ) � t→∞ lim t ln(1+t) 利用洛必达法则，我们可以对分子和分母分别求导： lim � → ∞ ln ( 1 + � ) � = lim � → ∞ � � � ( ln ( 1 + � ) ) � � � ( � ) = lim � → ∞ 1 1 + � 1 = lim � → ∞ 1 1 + � = 0 t→∞ lim t ln(1+t) = t→∞ lim dt d (t) dt d (ln(1+t)) = t→∞ lim 1 1+t 1 = t→∞ lim 1+t 1 =0 因此当 � x 趋近于 0 时， � = � ln ( 1 + 1 � ) y=xln(1+ x 1 ) 的极限为 0 。 当 � x 趋近于正无穷时 现在考虑 � x 趋近于正无穷的情况。原函数仍为： � = � ln ( 1 + 1 � ) y=xln(1+ x 1 ) 我们可以将 ln ( 1 + 1 � ) ln(1+ x 1 ) 进行泰勒展开： ln ( 1 + 1 � ) ≈ 1 � − 1 2 � 2 + � ( 1 � 3 ) ln(1+ x 1 )≈ x 1 − 2x 2 1 +O( x 3 1 ) 所以，原函数可近似为： � ≈ � ( 1 � − 1 2 � 2 ) = 1 − 1 2 � y≈x( x 1 − 2x 2 1 )=1− 2x 1 当 � x 趋近于正无穷时， 1 2 � 2x 1 趋近于 0 ，因此： � ≈ 1 − 1 2 � → 1 y≈1− 2x 1 →1 所以当 � x 趋近于正无穷时， � = � ln ( 1 + 1 � ) y=xln(1+ x 1 ) 的极限为 1 。 结论 当 � x 趋近于 0 时，极限为 0 。 当 � x 趋近于正无穷时，极限为 1 。 |
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min 221 天前
Gemini-1.5-Pro
： 好的，我来独立解决这个问题。 分析： 我们需要分别计算 $y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 在 $x$ 趋近于 0 和正无穷时的极限。 当 x 趋近于 0 时： 变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 趋近于 0 时，$t$ 趋近于正无穷。原式变为： lim � → 0 � ln ( 1 + 1 � ) = lim � → ∞ ln ( 1 + � ) � lim x→0 xln(1+ x 1 )=lim t→∞ t ln(1+t) 洛必达法则: 由于 $\lim_{t \to \infty} \ln(1+t) = \infty$ 且 $\lim_{t \to \infty} t = \infty$，我们可以应用洛必达法则： lim � → ∞ ln ( 1 + � ) � = lim � → ∞ 1 1 + � 1 = lim � → ∞ 1 1 + � = 0 lim t→∞ t ln(1+t) =lim t→∞ 1 1+t 1 =lim t→∞ 1+t 1 =0 因此，当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 的极限为 0 。 当 x 趋近于正无穷时： 变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 趋近于正无穷时，$t$ 趋近于 0 。原式变为： lim � → ∞ � ln ( 1 + 1 � ) = lim � → 0 ln ( 1 + � ) � lim x→∞ xln(1+ x 1 )=lim t→0 t ln(1+t) 重要极限: 我们知道 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$，因此： lim � → 0 ln ( 1 + � ) � = ln ( lim � → 0 ( 1 + � ) 1 � ) = ln ( � ) = 1 lim t→0 t ln(1+t) =ln(lim t→0 (1+t) t 1 )=ln(e)=1 因此，当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 的极限为 1 。 结论： 当 $x$ 趋近于 0 时，$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 0 。 当 $x$ 趋近于正无穷时，$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 1 。 |
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min 221 天前
@Claude-3-Opus 请比较上面三种不同的解法
Claude-3-Opus： 上述三种解法虽然细节略有不同,但整体思路是一致的。它们都分别计算了 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。 对于 x 趋近于 0 的情况,三种解法都使用了变量替换 t = 1/x,将原问题转化为求 lim(t→∞) ln(1+t)/t 的极限。然后都运用了洛必达法则,对分子分母分别求导,得出极限为 0 。 对于 x 趋近于正无穷的情况,我的解法和 Gemini-1.5-Pro 的解法思路非常相似,都是通过变量替换 t = 1/x 将问题转化为 lim(t→0) ln(1+t)/t,然后利用重要极限 lim(t→0) (1+t)^(1/t) = e 求得极限为 ln(e) = 1 。 GPT-4 的解法在处理 x 趋近于正无穷时略有不同。它先将 ln(1+1/x) 进行泰勒展开,然后再求极限。这种方法虽然合理,但相比其他两种解法略显复杂。 总的来说,三种解法殊途同归,都正确地求出了所需的极限。我和 Gemini-1.5-Pro 的解法更简洁直观一些。但 GPT-4 给出了一种不同的思路,这对拓宽我们的思维方式也有帮助。 |
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Peikon 221 天前
手子快意：
为了找到当 x 趋近于 0 和正无穷时函数 y = x ln(1 + 1/x) 的极限，我们可以分别考虑这两种情况。 当 x 趋近于 0 时: 当 x 接近 0 时，表达式 1 + 1/x 接近于 1 。在数学中，ln(1) 是 0 ，因为 e^0 = 1 。所以我们可以期望 x ln(1 + 1/x) 当 x 趋近于 0 时会趋近于 0 。 为了正式地计算这个极限，我们可以将极限表示为： [ \lim_{x \to 0} x \ln(1 + \frac{1}{x}) ] 利用洛必达法则（因为 x 乘以 ln(1 + 1/x) 会在 x=0 时导致不确定的形式 0*∞），我们有： [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} ] 由于当 x 趋近于 0 时，1 + 1/x 趋近于 1 ，ln(1 + 1/x) 趋近于 ln(1) = 0 ，同时分母 1/x 趋近于正无穷。 所以，当 x 趋近于 0 时，y = x ln(1 + 1/x) 的极限是： [ \lim_{x \to 0} x \ln(1 + \frac{1}{x}) = 0 ] 当 x 趋近于正无穷时: 当 x 趋近于正无穷时，1/x 趋近于 0 。对数和指数函数在 (0, 正无穷) 的区间内是连续且单调的，所以 ln(1 + 1/x) 当 1/x 趋近于 0 时趋近于 ln(1) = 0 。 因此，y = x ln(1 + 1/x) 在 x 趋近于正无穷时的极限是： [ \lim_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} x \cdot 0 = 0 ] 所以，无论 x 趋近于 0 还是正无穷，函数 y = x ln(1 + 1/x) 的极限都是 0 。 |
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GGBond2001 221 天前
gpt4 出错了
gpt4 turbo 做对了 |
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GGBond2001 221 天前
@GGBond2001 gpt4-32k 也做对了, 就 gpt4-8k 没做对
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param 221 天前 via Android
用 wolfram alpha 插件
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Persimmon08 OP |
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Persimmon08 OP @zzzsy 该充值 GPT4 了
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Persimmon08 OP |
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Persimmon08 OP @min 大兄弟，你这是都充值 claude 和和 gemini 了吗，一个月多钱呢，你这两条排版也太拉跨了
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Persimmon08 OP @Peikon 这答错了呀，赶紧换下一家
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Persimmon08 OP @goodryb 确实不太聪明
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Persimmon08 OP @justsomac 免费 claude 都能答对，明天再问问？
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Persimmon08 OP @lihaokey 基于 gpt4 得 copilot 还是表现不错
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Persimmon08 OP @Track13 充钱就是不一样，一个月多钱呢？
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Persimmon08 OP @hhjuteman 确实，提醒他用洛必达法则也许能对
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Persimmon08 OP @lihaokey 多问他几次，10 次会有 3 次答错
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wwhc 221 天前
Mixtral 8x7b Q6_K：
当 x 趋近于 0 时，有： lim_{x to 0^+} y = lim_{x to 0^+} x ln(1+frac{1}{x})=0 当 x 趋近于正无穷大时，有： begin{aligned} lim_{x to +infty} y &= lim_{x to +infty} x ln(1+frac{1}{x}) &= lim_{x to +infty} frac{ln(1+frac{1}{x})}{frac{1}{x}} &text{(使用}frac{0}{0}text{型拆分)} &= lim_{x to +infty} frac{frac{-1}{x^2(1+frac{1}{x})}}{frac{-1}{x^2}} &text{(应用}mathrm{l'Hospital rule)} &= 1 end{aligned} 因此，当 x 趋近于 0 时，lim_{x to 0^+} y = 0 ；当 x 趋近于正无穷大时，lim_{x to +infty} y = 1 。 |
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jiaxinbinggan 221 天前 via iPhone
[1]: https://zh.numberempire.com/limitcalculator.php ""
[2]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/381163118 "" [3]: https://www.zhihu.com/question/51565064 "" [4]: https://zhidao.baidu.com/question/924611196728740179.html "" [5]: https://zhidao.baidu.com/question/622785830157996292.html "" 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时，函数 \( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) \) 的极限可以通过洛必达法则或等价无穷小的概念来求解。下面是这两个极限的计算过程： 1. 当 \( x \) 趋近于 0 时： 由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于无穷大，\( 1+\frac{1}{x} \) 趋近于无穷大，所以 \( \ln(1+\frac{1}{x}) \) 趋近于 0 。因此，\( y \) 的极限是 \( 0 \)。 2. 当 \( x \) 趋近于正无穷时： 我们可以使用洛必达法则，因为 \( x \) 和 \( \ln(1+\frac{1}{x}) \) 都趋近于无穷大。通过对分子和分母同时求导，我们可以得到极限值。 具体计算如下： - 对于 \( x \) 趋近于 0 的情况： $$ \lim_{x \to 0} x \ln(1+\frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} $$ 应用洛必达法则，得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 $$ - 对于 \( x \) 趋近于正无穷的情况： $$ \lim_{x \to \infty} x \ln(1+\frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} $$ 同样应用洛必达法则，得到： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 $$ 因此，当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时，\( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) \) 的极限都是 1 。 源: 与必应的对话，2024/4/26 (1) 极限计算器 - 数字帝国. https://zh.numberempire.com/limitcalculator.php. (2) 2022 考研数学复习指导：求极限的 16 种方法总结及例题 .... https://zhuanlan.zhihu.com/p/381163118. (3) Lim （ x 趋向正无穷）（ 1+1/x ） x 次方=e 那当 x 趋向于 0 时 .... https://www.zhihu.com/question/51565064. (4) lim(x→0) ln(1+x)/x 求极限，不要用洛必达法则，请写下 .... https://zhidao.baidu.com/question/924611196728740179.html. (5) lnx 在 x 趋于零时的极限_百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/622785830157996292.html. |
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Track13 221 天前 via Android
@Persimmon08 Gemini1.0 现在是免费的，不如 gpt4
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qingyingwan 221 天前
所有的 GPT 解答推理逻辑类问题，数学相关问题，都是垃圾
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darson 221 天前
数学问题是完全不行的，基本就是背答案，让他背定理可以，稍微灵活运用一点都不行，CoT 无论怎么 chain 都不行，它并没有真的理解前后步骤的逻辑和数学运算，稍微复杂一点就胡说八道了。
另外试过 wolfram alpha 的插件，会好一点，但是有的题插件答错，wolfram 的官网却能答对。 |
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Metatron7 220 天前
您的答案是正确的。当 x 趋近于 0 和正无穷时，函数 y=x ln(1+1/x) 的极限分别为 0 和 1 。
以下是详细的解释： 情况一：x 趋近于 0 当 x 趋近于 0 时，1/x 趋近于正无穷，ln(1+1/x) 也趋近于正无穷。然而，x 趋近于 0 的速度比 ln(1+1/x) 趋近于正无穷的速度快。因此，它们的乘积 x ln(1+1/x) 趋近于 0 。 情况二：x 趋近于正无穷 我们可以使用洛必达法则来求这个极限。首先，将 y=x ln(1+1/x) 改写成 y=ln(1+1/x) / (1/x) 的形式。当 x 趋近于正无穷时，ln(1+1/x) 和 1/x 都趋近于 0 。因此，我们可以应用洛必达法则： lim (x→+∞) ln(1+1/x) / (1/x) = lim (x→+∞) [1 / (1+1/x) * (-1/x^2)] / (-1/x^2) = lim (x→+∞) 1 / (1+1/x) = 1 所以，当 x 趋近于正无穷时，y 趋近于 1 。 |
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Wkj1998 215 天前
Sure, I'd be happy to help you with that advanced math problem!
To find the limit of y = x ln(1 + 1/x) as x tends to 0 and positive infinity, we need to apply the appropriate limit laws and algebraic manipulations. Limit as x tends to 0: Let's first simplify the expression by applying the rule: lim(x→0) x ln(1 + 1/x) = lim(x→0) ln(1 + 1/x) / (1/x) Now, we can use the limit laws and algebraic manipulations: lim(x→0) ln(1 + 1/x) / (1/x) = lim(x→0) [ln(1 + 1/x)] / [(1/x)] = lim(x→0) [ln(x + 1) - ln(x)] / [(x + 1 - x)/x] = lim(x→0) [ln(x + 1) - ln(x)] / [1/x] = lim(x→0) [(d/dx) ln(x)] (Using L'Hospital's rule) = lim(x→0) 1/x = ∞ Limit as x tends to positive infinity: lim(x→∞) x ln(1 + 1/x) = lim(x→∞) ln(1 + 1/x) / (1/x) = lim(x→∞) [ln(x + 1) - ln(x)] / [(x + 1 - x)/x] = lim(x→∞) [ln(x + 1) - ln(x)] / [1/x] = lim(x→∞) [(d/dx) ln(x)] (Using L'Hospital's rule) = lim(x→∞) 1/x = 0 Therefore, the limit of y = x ln(1 + 1/x) as x tends to 0 is positive infinity (∞), and the limit as x tends to positive infinity is 0. Claude Sonnet |
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