抛硬币 10 次，最后结果中有 5 次连续正面朝上的几率如何计算？

次连续

正面

朝上

51 条回复 • 1970-01-01 08:00:00 +08:00

1

casparchen

2014-04-06 18:05:59 +08:00

6次算么

2

yangff

2014-04-06 18:08:24 +08:00

首先固定一串A，然后考虑把这个5个A放在序列的某个位置。
假设放在位置x，也就是说x-1一定是B，接下来5个肯定是A，剩下的位置随意。
统计一下有多少种序列，除以2^10就行了……
其实还有一种比较diao的计数方法，不过这里反正用不上。。

3

ybbswc

2014-04-06 18:09:13 +08:00

把5个A作为一个量，其他五个作为5个量。然后计算概率。
具体怎么算我给忘了，但是原理应该是这样。

4

ybbswc

2014-04-06 18:10:35 +08:00

A66 / 2^10 ?

5

ybbswc

2014-04-06 18:11:41 +08:00

不对，不是这样。

6

MarioLuisGarcia

OP

2014-04-06 18:12:16 +08:00

@casparchen 算，大于5次的都算。还有，我怎么不能附言了。

7

ybbswc

2014-04-06 18:15:33 +08:00

21.875%？

8

acros

2014-04-06 18:15:56 +08:00

就是6！/10!吧·····

9

acros

2014-04-06 18:17:19 +08:00

@acros 完了，排列组合的公式我都想不起来了····

10

ybbswc

2014-04-06 18:19:03 +08:00

@acros 智商已废。原来高中是我人生智商最高的时候～～～

11

MarioLuisGarcia

OP

2014-04-06 18:28:52 +08:00

@ybbswc 我是这么算的，总共可能的结果是2的10次方=1024种。把5个正面朝上的硬币看成一个对象S，和剩下的5个硬币排序，因为剩下5枚硬币都是identical的，总共有6种排序方式。而每种排序方式都有2的5次方的可能结果。所以总的5次正面朝上的可能结果是6 * (2^5) = 196 。概率 = 196/1024 =0.1875

12

acros

2014-04-06 18:30:42 +08:00

@ybbswc 仔细想了下。
将五个事件当作一次抛掷，一共2的6次事件。
分母是2的10次。

答案是 64/1024？

召唤高中生······

13

MarioLuisGarcia

OP

2014-04-06 18:37:19 +08:00

@acros 我觉得我那种算法里有重复的部分没有剔除。不过你这种算法的话，掷20次得到5次正面向上的概率不是和掷10次一样？掷20000次得到5次正面向上的概率也和掷10次一样！

14

loading

2014-04-06 18:37:40 +08:00 via iPad

分母应该没人有意见

分子：把5个正连起来，把5连正会出现的5个位置的算出来（注意排除5连正前一位为正的情况）
应该是这样，有时间我算算

15

YouXia

2014-04-06 18:38:12 +08:00 via Android

全部组合-0次-1次-2次-3次-4次。

16

yangff

2014-04-06 18:42:33 +08:00

@MarioLuisGarcia
令X代表五个A，Y代表未定义
对XYYYYY着色得到[Five]ABBBB
对YXYYYY着色的到A[Five]BBBB
但两者本质相同。

17

loading

2014-04-06 18:46:11 +08:00 via iPad

五连正在12345位：2^5
在2345位：2^1+2^4-1 (排除1位出现正）
以此类推

18

yangff

2014-04-06 18:49:20 +08:00

顺便一说如果我没有理解错的话答案是112/1024=0.109375

19

loading

2014-04-06 18:51:11 +08:00 via iPad

（32+17+11+11+17+31）/1024=
129/1024=

0.126

20

robbielj

2014-04-06 18:56:53 +08:00

(2*2^4+4*2^3)/2^10=0.0625

连A有5次的情况只有6种
1-5,2-6,3-7,4-8,5-9,6-10
但是因为这5次连a的头尾不能又是A（比如要BAAAAABXXX)
所以剩下能自由排的只有3个
1-5，6-10能剩4个因为靠头和末尾

21

MarioLuisGarcia

OP

2014-04-06 19:10:52 +08:00

@loading 112如何得出的？

22

loading

2014-04-06 19:15:52 +08:00 via iPad

@MarioLuisGarcia 我的是包括6连到10连的，如果我数学老师没改成体育老师的话

23

creamiced

2014-04-06 19:29:40 +08:00

如果包含5连、6连...10连的话就是6*2^5/2^10=0.1875
如果只有6连而排除6连及以上的情况，就是(2^3 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^3)/2^10=0.0625

24

skydiver

2014-04-06 19:30:22 +08:00

6*2^5 / 2^10 = 6/128

25

creamiced

2014-04-06 19:30:49 +08:00

@creamiced 哎呀，第二行应该是“如果只有5连...”

26

robbielj

2014-04-06 19:46:44 +08:00

@creamiced
只有5连的情况就是这样和我想的一样
但是如果考虑5连以上也包含就不能直接6*2^5
因为会重复比如任何5连A的情况下，剩下5个可能也是全A，6*下这种情况被重复计数了

要的话就是把只有6连A，7连A，8连A，9连A，10连A所有情况的全部加起来

27

alexrezit

2014-04-06 19:55:23 +08:00

用一种最无脑但最清晰的方式解吧:

所有可能的情况有 2^10 种.

仅 n 连且 10-2 > n >= 10/2 的时候可能的情况有 2*2^(10-1-n) + (10-1-n)*2^(10-2-n) 种. 仅 10 - 1 连的情况有两种, 10 连的情况有一种.

结果是 112/1024 = 7/64. 没验算过, 不过既然楼上已经有 @yangff 得出相同结果应该就没错了.

用到的知识就是数列求和加统计学基础, 高二水平数学题, 解错的可以去面壁了.

28

zangge1984

2014-04-06 19:58:17 +08:00

你描述的应该是至少连续五次正面。
6*（2^5）/(2^10)=0.1875

29

creamiced

2014-04-06 21:03:51 +08:00

@robbielj 你说得对。
我重新算了下，是7/64
概率问题太容易想当然了，我去面壁了

30

alexrezit

2014-04-06 21:11:57 +08:00

@creamiced

恭喜!
解锁成就: 统计学基础 √

真没想到这种概率问题会难倒一大批人... (龙儿快回去给大河妹妹做饭!)

31

SoloCompany

2014-04-06 23:00:08 +08:00

没看到连续这个前提，所以答案直接就说是50%了
有了连续这个前提，那么
刚好连续10个1是 1 = 1
刚好连续9个1是 1 + 1 = 2
刚好连续8个1是 2 + 1 + 2 = (3 + 2) * 1
刚好连续7个1是 4 + 2 + 2 + 4 = (4 + 2) * 2
刚好连续6个1是 8 + 4 + 4 + 4 + 8 = (5 + 2) * 4
刚好连续5个1是 16 + 8 + 8 + 8 + 8 + 16 = (6 + 2) * 8

貌似也只能这么算了

32

taued

2014-04-06 23:29:52 +08:00

就是5个连续从第一位开始（第六位不是，后面随便），5个连续从第二位开始（第七位不是，后面随便）。。。。。

1. 前面5个是正面，第六个是反面，7 8 9 10无所谓 2^4/2^10 = 16/1024
2. 第一个是反面，2-6正面，7是反面，8 9 10 无所谓 2^3/2^10 = 8/1024
3. 第一个随便，第二个是反面，3-7是正面，8是反面，9 10无所谓（ 2^1 + 2^2)/2^10 = 6/1024
4. 1-2随便，3反，4-8正面，9反，10随便（ 2^2 + 2^1)/2^10 = 6/1024
5. 同2 8/1024
6. 同1 16/1024

(16+8+6)*2 / 1024 = 60/1024 = 15/256

33

diseng1991

2014-04-06 23:31:09 +08:00

把5个看成1个就行了 1C6＊2^5/2^10

34

BOOM

2014-04-06 23:41:55 +08:00 via iPad

斐波那契数列可以？

35

wuyazi

2014-04-06 23:52:17 +08:00

1

6*1/2^5 - 5*1/2^6 = 7/64
貌似是这样的

36

skydiver

2014-04-07 02:51:48 +08:00

http://gist.github.com/anonymous/82917d7405e96f1e031f

写了个脚本跑了一下，证明答案是7/64……

@wuyazi 这个后面的 5*1/2^6 是怎么来的

37

skydiver

2014-04-07 02:52:54 +08:00

@skydiver 怎么gist没贴上。。

https://gist.github.com/anonymous/82917d7405e96f1e031f

38

skydiver

2014-04-07 02:54:10 +08:00

@skydiver http://gist.github.com/anonymous/10010100

39

skydiver

2014-04-07 02:55:49 +08:00

http://gist. github.com /anonymous/10010100 gist贴不上。。谁能贴帮贴一下

40

Epsil0n9

2014-04-07 04:39:08 +08:00

@wuyazi 最简洁!

41

alexrezit

2014-04-07 05:29:46 +08:00 via iPhone

@skydiver
@wuyazi 的方法是全排再去重的. (6*2^5-5*2^4)/2^10 这样就好理解了.

42

wuyazi

2014-04-07 08:32:37 +08:00 via iPhone

@skydiver
可以写成（n-a+1）*（1/2）^a-（n-（a+1）+1）*（1/2）^（a+1）
可以理解成：
n次中有a次连续的情况有（n-a+1）种，每种情况的概率为（1/2）^a，其中（a+1）次连续的情况被重复计算了2遍，（a+2）次的情况被重复计算了3遍...n次连续的情况被重复计算了（n-a+1）遍。
现在要计算（a+1）次连续的情况，套用上公式就是（n-（a+1）+1）*（1/2）^（a+1），这样（a+1）次连续的情况被重复计算了1遍，（a+2）次连续的情况被重复计算了2遍...n次连续的情况被重复计算了（n-（a+1）+）遍。
两者一减就是a次连续到n次连续都被计算一遍的概率啦。
和 @alexrezit 的去重道理上差不多。

43

s51431980

2014-04-07 11:25:45 +08:00

1

楼主没说清问题，是只有5次，还是5次或以上，后者要容易算的多，前者的话 @taued 的是一种常用的思路，但细节出错

@taued
3 4 两种情况应该是（ 2^1 * 2^2)/2^10 = 6/1024 不是（ 2^1 + 2^2)/2^10 = 6/1024
中间是*，不是+

44

iLluSioN

2014-04-07 11:29:59 +08:00

112/1024吧
正面Y反面N，在序列两端（边界处为一段）加上反面，[?N(Y^k) / ?N(Y^k)N?/ (Y^k)N?]
F(k|k < 10) = 0.5^(k+1) + (9-k) * 0.5^(k+2) + 0.5^(k+1)
F(10)= 0.5^10

sigma(F(k), 5 <= k <= 10)

45

champage

2014-04-07 11:33:49 +08:00 via Android

我能说高达上么

46

taued

2014-04-07 13:26:53 +08:00

@s51431980
确实。。当时没想太多。两边应该是独立的事件。这样算就是 3 4 应该是8种情况。
56/1024 = 7/64

47

zakokun

2014-04-07 14:23:35 +08:00

疯了疯了，高中的基础题居然讨论的这么热火朝天.....

48

zakokun

2014-04-07 18:34:51 +08:00

泪流满面...测试了下，果然是7/64 我算了半个小时...
<script src="https://gist.github.com/zakokun/10017946.js"></script>

49

zakokun

2014-04-07 18:36:45 +08:00

@zakokun 好吧，第次看别人用gist...
https://gist.github.com/zakokun/10017946

50

Epsil0n9

2014-04-07 18:43:10 +08:00

@alexrezit 不愧是受到虾神倾慕的邪王真眼! O(∩_∩)O~

51

alexrezit

2014-04-07 19:18:03 +08:00 via iPhone

@Epsil0n9
我是弱渣... 算法什么的完全不会です... /w\