车羊问题升级版，如果有100扇门，主持人打开了98扇门，问你换不换，概率怎么算?

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台上有100扇门，其中一扇门后藏有现金100万，主持人叫你选择其中一扇门后，然后主持人在余下的门中排除98个，这时问你要不要更换选择？

第 1 条附言 · 2013-06-10 02:48:39 +08:00

其实在发帖之前我演算过一次算法，当时我也不太清楚我发帖是想要得到什么结论。

现在我知道了，我是想知道我们算出来的值为什么会与第一感觉差那么多，我想这个问题能引起讨论，应该也是因为大家都有同感吧？

那么是什么使你们相信了这个值，而否定了最初的第一感觉，如果让你暂时忘记概率的数学概念，你还会觉得在门足够多的时候，主持人的一个动作能把这个中奖概率能达到99% 9999%%乃至无穷大么？

遇到这种问题我真的很难转过弯来

扇门

42 条回复 • 1970-01-01 08:00:00 +08:00

ainopara

2013-06-09 15:17:49 +08:00

一样的。
你的选择有99%的概率是空的的。也就是说排除98扇门后，另一扇门有99%的可能性是100万。

eric_zyh

2013-06-09 15:27:29 +08:00

@ainopara 也就是说门越多概率越大，门足够多的话，可以达到双色球的中奖概率

理论值怎么感觉和实际差这么多?

Marlon

2013-06-09 15:34:57 +08:00

假如换了，概率貌似不一样啊，

ainopara

2013-06-09 15:43:17 +08:00

只有当你一开始选到的就是100W，「不换」这个选项才比「换」这个选项好。
而门越多，你一开始选到100W的概率越小。
我说一样是指，和3扇门的算法是一样的。

Perry

2013-06-09 15:46:56 +08:00

http://www.businessinsider.com/the-most-controversial-math-problems-2013-3#-9
不用多想。。

yuhu

2013-06-09 15:48:21 +08:00

一样要换。你问出这个问题说明你对问题还不是了解得很透彻。

eric_zyh

2013-06-09 15:52:16 +08:00

@yuhu 就是因为不透彻所以才问这个问题。。

eric_zyh

2013-06-09 15:59:45 +08:00

@Perry 好像理论是这么回事，说不上来哪里出了问题，有种类似视觉欺骗的感觉。

nigelvon

2013-06-09 16:23:07 +08:00

@eric_zyh 你随便买了个双色球，然后有人告诉你只有两组号码有可能会中大奖，其中一个是你手里这个，还有另外一个。他在大量的组合中筛出一个有可能中奖的，和你一开始随便买的一个组合。这种情况你觉得哪一组中奖几率大?

eric_zyh

2013-06-09 16:39:34 +08:00

@nigelvon 只说我直接的理解，对我而言都是2选1，两种情况一样大，但中奖概率都是1/2。

AstroProfundis

2013-06-09 16:41:15 +08:00

撕几张纸片找个朋友一起做实验吧，说什么都没用，数据最真实

ejin

2013-06-09 16:52:38 +08:00

有个节目叫概率知多少你去看看有这个题目

66450146

2013-06-09 17:04:01 +08:00

@eric_zyh 列出所有的可能

如果有 N 个门的话，你选的门后有车的可能性就是 1/N，你选的门后有羊的概率就是 (N-1)/N

分成两种情况：

如果你一开始选的门后有车，那你替换之后会得到一只羊，否则得到一辆车

如果你一开始选的门后有羊，那你替换之后会得到一辆车，否则得到一只羊

也就是说，如果你换的话，有车的概率是 (N-1)/N，而不换的话只有 1/N

当然，前提是你想要的是车，而不是羊

revlis7

2013-06-09 17:09:45 +08:00

很多人就觉得剩下两扇门，一个奖品，几率就是50%，不管你主持人之前做过什么。

但是如果你自己脑子里演绎一遍，想象一下，你上来选了1扇门，然后主持人开了另外98扇，最后的概率是50%，换不换都一样的话，那等于说你一上来就选中有奖品门的几率就是50%，这显然是不对的。

主持人永远不会打开有奖品的门，这是关键，如果主持人排除98扇门的时候，不告诉你那98扇门后有什么，那么这个时候你换不换才是无所谓的，因为剩下的最后两扇门的几率都是1%，奖品有可能在那98扇门里。

chmlai

2013-06-09 17:24:13 +08:00

- -!还在纠结这个问题.

leavic

2013-06-09 18:27:39 +08:00

都是50%，只要把主持人的动作提前来完成就容易理解了。

coolzjy

2013-06-09 19:33:48 +08:00

@leavic 不要误人子弟

alexrezit

2013-06-09 19:36:42 +08:00

@leavic
你智商有问题. 洗洗睡吧.

kstsca

2013-06-09 19:36:54 +08:00

概率是 1/100+1/100=2/100

kstsca

2013-06-09 19:37:32 +08:00

概率是 1/100+98/100=99/100

msg7086

2013-06-09 20:21:07 +08:00

[选] [] [] [] [] [] []
1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
---------------------------
[选][空] [空][空][空] [] [空]
1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
---------------------------
[选][空][空][空][空] [] [空]
1/7 0 0 0 0 6/7 0

这种情况下，每700次实验中，大约有100次是换门后不中，有600次是换门后中奖。

madao

2013-06-09 20:27:52 +08:00

@leavic 数学盲？

leavic

2013-06-10 00:55:05 +08:00

@madao 对

leavic

2013-06-10 00:57:01 +08:00

@alexrezit 马上睡了

Air_Mu

2013-06-10 01:06:02 +08:00

我觉得这个WIKI说得很清楚：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E5%B0%94%E9%97%AE%E9%A2%98

Aether

2013-06-10 01:08:08 +08:00

我认为，概率是针对宏观多量数据的知识，套用在特例上，是不合适的。

在枪林弹雨里被流弹击中的可能性也许只有万分之一（规模样本预测），但是被击中的人而言概率是百分之百（个体事实发生）。

这就像是 @msg7086 给出的结果一样，概率的确更大，但和你这次是否中奖一点关系没有——除非你连着做这个游戏至少N次（而N这个数字也是变化的，没有一个明显的临界线表明，从N+1开始，进入规模化样本的阶段）。

eric_zyh

2013-06-10 02:18:38 +08:00 via iPhone

@Aether "概率的确更大，但和你这次是否中奖一点关系没有" 这句话怎么解释呢？这个概率难道不是中奖概率么？

你的回答让我好像明白了什么，又迷惑了，我现在纠结的只是为什么这个概率值在门足够多的时候会这么离谱，而且这个问题会引起讨论，应该也是大家第一印象觉得这个值与心里想的不一致吧，可是最终都同意了数据，现在如果让他们抛弃概率这个数学概念，只是想象成现实中奖几率，真的在门足够多的时候，主持人的一个动作能把这个中奖概率能达到99% 9999%%，会不会是此概率非彼概率呢？

我现在就像当初看到薛定锷的猫这个理论时那么困惑。

013231

2013-06-10 04:35:14 +08:00

這有什麼好困惑的?
換門會使選擇結果逆轉, 也就是說, 如果一開始沒選中, 換門後就選中了; 如果一開始選中了, 換門後就變成沒選中.
一開始沒選中的概率 == 換門後選中的概率
門很多的情況下, 一開始有很大概率選不中, 所以換門後有很大概率選中.

unionx

2013-06-10 06:19:23 +08:00

我想知道有没有人这的试一试，做1000次实验，然后统计一下概率

laskuma

2013-06-10 08:35:53 +08:00 via iPhone

@Aether 逼格挺高

msg7086

2013-06-10 09:17:33 +08:00

@Aether 但是如果给你选择的机会，有概率大的选择的时候，又何必特意坚持概率更小的选择呢

tffny

2013-06-10 10:26:51 +08:00

概率对中大奖意义不大，中大奖靠的是运气或者黑箱，可能研究下数学天才去赌城更实在，但是首先需要有数学天赋吧。

binux

2013-06-10 14:28:17 +08:00

@leavic 如果主持人动作提前，他打开了你正准备选的门怎么办？
你选择了再打开，就去除了很多这样的分支

zhigang1992

2013-06-10 14:39:09 +08:00

第一次选中的概率是1/100

没了

thedevil5032

2013-06-10 17:37:07 +08:00

用枚举所有情况来理解：

对于 N 道门，只有一道门背后有奖品的前提，进行 N 次实验（假设事件按概率发生），那么有：

1，去掉（N-2）道门前，只有 1 次会选对门，另外N-1 次选错门。
2.1，去掉（N-2）道门后，如果不换门，那么只有原本选对的那一次实验中可以打开有奖品的门，而另外 N-1 次都失败。
2.2，去掉（N-2）道门后，如果换门的话，本来选错的 N-1 次试验中可打开正确的门，只有原本正确的那次会失败。

希望能有所帮助。

Aether

2013-06-10 18:11:31 +08:00

@msg7086 我的意思是说，概率是针对量化样本，对个体无效。你扔筛子获得6的概率是1/20(假设），但是扔下去的那一瞬间，在所有给定条件不变的情况下，这一次个体的结果是已决定的（100%是或者不是6），此结果不会因为主观意向的不同而变化（除非这是一个量子状态下的问题）。开门问题同理。

核心还是要理解概率在什么层次的问题上起效，也是理解概率本身的定义。在宏观的概率定义上绕单次结论，就像是在宏观层面理解微观量子世界那么。。。差得远。

Aether

2013-06-10 18:12:24 +08:00

@unionx 你有看过21楼然后再回复此帖吗？。。。

Aether

2013-06-10 18:16:46 +08:00

@eric_zyh 概率是宏观的，不是单次的，我能表达的个人理解就是这样的描述了。概率是描述扔十次或者一千次以后得到的统计结果分布，它不负责预测（实际上这个世界上还没有这样的知识可以预测）给定的未来，负责预测给定未来的是已知的物理规则。

也许我们可以从另外一个层面来理解。电子云是按照概率分布在原子核外层的。。。物质状态，但这些概率无法精确指出电子在给定时间出现在那个给定空间，具备何种动量和质量。反过来，一旦我们通过观察（同时是干扰）确认了电子的动量或者位置，这个时候电子云已经不复存在，只存在这个状态下的一个精确值。

我希望这个比喻足够准确，但至少它表达了我的想法。

Aether

2013-06-10 18:22:22 +08:00

@tffny 概率对中大奖意义还是很大的，前提是你得有足够的时间和资金来操作。

比如，我们可以计算出，在给定1000万购买某段组合数字时，根据给定的概率（比如花色球摇奖的方式），可以确认获得300万左右的回报（这个时候是在大量样本上进行操作）。

但同时，精算师负责把庄家的收益以概率的方式最大化并且实现利润，就像精算师在保险公司所做的事情是一样的。所以1000万博1亿的风险依然是很高的，对赌依然是高风险的事情。

octopus_new

2013-06-10 19:32:51 +08:00

@eric_zyh 我的理解是这样的，你选择100扇门中的一扇，中奖概率是1/100, 那么剩下的门中奖概率是99/100。接下来主持人告诉你，有一扇门的中奖概率就是99/100，你换还是不换？这个和打开另外的98扇空门效果是一样的。我觉得这样理解起来比较简单

Aether

2013-06-10 19:39:44 +08:00

我觉得也许还有一个方法来看待这个问题。
当你作为一个旁观者来观察一个游戏玩家是否选门，下意识的，这个玩家其实是被计入假设的多次概率中的；但是当你自己作为玩家的时候，这时对你的结果只有确定的一个。
这的确很像薛定谔的猫的游戏。

unionx

2013-06-10 20:16:05 +08:00

@Aether 21L也是“算”的啊