关于傅立叶变换的一点疑惑?（夜不能寐

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这是一个创建于 1140 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

傅立叶变换,有公式
F(t) = ∫fx * e^(-i* t * 2π) dx

t = 0,1,2,3 ... N

频率 t ,从做到又依次增加.

二维的情况, 应该也是,从左到右,从上到下,依次增加。也就是左上角是最低频，右下角是最高频。类似于

1  2  3  
2  3  4  
3  4  5

但是看网上关于傅立叶变换的文章，都是说，四周是低频，中间是高频（或者四周是高频，中间是低频，然后平移变换,总之极值在中间。）

请问这个是什么原因呢？网上人都这么说，应该是我理解错了。

还有，输出功率图的时候，是输出的振幅吧，复数的模，但我发现这个值很大，远远超过了 255 （ rgb 灰度值）。这个是怎么处理的呢，谢谢。

非通信出身,见笑了 :)

变换

傅立叶

低频

高频

9 条回复 • 2021-10-22 23:14:22 +08:00

vinle

2021-10-19 18:56:28 +08:00

mark，最喜欢这种硬核的主题了

deplivesb

2021-10-19 19:01:03 +08:00

虽然我不会，但是我觉得如果论坛里能多一些硬核主题还是还是不错的

Rivers7

2021-10-19 19:31:08 +08:00

傅里叶变换平移不变性，平移到中心了，matlab 中 fftshift 函数就是这个功能

upojzsb

2021-10-19 19:33:43 +08:00

第一个问题：
计算机中使用的傅里叶变换并不是其连续形式，比如说一个 N 点(N=2^c, c 为整数)的信号 f[n]经过傅里叶变换后，会得到一个 N 点的复序列，其中第 k 个点(k=0, 1, ..., N-1)代表的频率是 k*fs/N，其中 fs 为信号的采样频率
我们假设信号 f 是一个实信号（由实数构成），那么可以由傅里叶变换的定义推导出 f(-\omega)=\bar{f}(\omega)，即信号是共轭对称的，我们就可以根据正频率推导出负频率的信息，同时离散傅里叶变换是周期的，周期为 2\pi，所以我们可以根据[0,\pi]的信号推导出其它位置的信号
通过离散傅里叶变换得到的 N 个信号相当于对连续变换的 0~2\pi 的信号进行离散，所以第 0 个点代表 0 频率，第 N-1 个点代表 2\pi 频率，而\pi 到 2\pi 频率的信号相当于-\pi 到 0 频率的信号（根据周期性），-\pi 到 0 频率的信号相当于 0 到\pi 频率的信号的共轭（实信号的共轭性）所以在只考虑幅度的情况下，0~N-1 点的信号代表：
0, fs/N, ..., fs/2, fs/2-fs/N, ..., 0
0, 1, ..., N/2, N/2+1, ..., N-1
也就是从低频到高频再到低频
二维傅里叶变换同理：

低低低中低高低中低低
中低中中中高中中中低
高低高中高高高中高低
中低中中中高中中中低
低低低中低高低中低低

经过一个 fftshift 就变成中间低、四周高的形式

第二个问题：

我看二维傅里叶变换功率谱的时候一般会取个对数，看相对量

如果想更深入理解这些问题，可以参考：
[1] 信号与系统 Oppenheim
[2] 数字图像处理冈萨雷斯

muhahaha

2021-10-19 21:41:13 +08:00 via iPhone

第一个问题上面已经有了相当全面的回答，第二个问题，功率一般采用 dBw 的形式，也就是楼上说的取对数，具体形式一般是 10✖️log(x)

shq619

2021-10-19 22:37:22 +08:00 via iPhone

复平面不是实数平面，所以高的在原点

necomancer

2021-10-19 22:44:58 +08:00

公式写错了，t->v
F(v) = \int f(t)Exp(-i 2\pi v t)d t
很显然当 f(t) 是实函数的时候 F(-v) = conj(F(v))，f 是复数的时候没有这个性质
然后离散傅里叶变换，加和变积分，F[k] = \sum_{m=0}^{N-1} f[m]Exp(-i 2\pi mk/N)
输出的数组按 k 为下标的话，F[0] 就是 \sum_{m=0}^{N-1} f[m]为整个信号的加和（积分），也是所谓的零频。如果数组长度是 N 的话，那么频率 k 最大到 N//2，这是 Nyquist 定理决定的，所以傅里叶变换后的数组 F[0~N//2] 是 0 频到最大频率，而 N//2~N 是负频率，即-N//2+1, ...., -1, 所以整个数组按照频率排序的话（偶数 N ）的结构是 [0,1,2,...,N//2,-N//2+1,...,-1]，而 fftshift 函数会将数组重排成为（按照频率）[-N//2+1,....-1,0,1...,N//2], 不难验证当 k=-N//2 和 N//2 时二者相等。正因为 Nyquist 定理决定了傅里叶变换后频率大小小于数组一半，即|k|<N/2，以及算法的原因，傅里叶变换的输出是先 0 频，再低频到高频，然后是负频率从高负频到低负频，

vinle

2021-10-22 21:45:44 +08:00

不懂傅立叶，但帮楼上完善下 tex 的公式显示：
![]( https://s3.bmp.ovh/imgs/2021/10/294b90e6cd04ac98.png)

necomancer

2021-10-22 23:14:22 +08:00

昨天有事没详细写完，今天续上：考虑一个信号 f(t)，变成一个长度为 N 的数组，数组标 i 其实和 t 是对应的，比如 t 是 0-T，那么 i=0,...N-1 对应 0,dt,2dt,3dt,....T-dt，其中 dt=T/N，但如果变成频率，首先，根据时频域倒数的关系，频率的单位是 1/T，第二，根据 Nyquist 定理，最大频率不能超过 0.5/dt，所以频率范围是 -0.5/dt~0.5/dt 。
程序里其实涉及的是数组下标的转换，在离散傅里叶变换里，输出数组的长度也是 N，比如下标 k 是 0,1,2,3,4,...N，那么按照定义，F[k] = \sum_{m=0}^{N-1} f[m]Exp(-i 2\pi mk/N)，我们如果按照下标顺序也就是 0，1，2，3...计算的话，可以从 Exp(-i2\pi mk/N)里看出，当 k<N/2 时没有任何问题，我们可以让数组下标 0,1,....N/2 对应频率 0,1/T,2/T...0.5/dt，但当 k>N/2 时，按照数组下标对应规则，频率就超过 0.5/dt 了，这是不现实的，由于傅里叶变换因子存在对称性，即令 k=N/2+j （直接对应频率 0.5/dt+j/T)，其中 j<N/2，那么变换因子 Exp(-i2\pi mk/N)=Exp(-i 2\pi m (1/2+j/N)) = Exp(-i \pi m -i2\pi mj/N)，考虑 k'=j-N/2，则 Exp(-i2\pi mk'/N)=Exp(-i 2\pi m (j/N-1/2))=Exp(i \pi m -i2\pi mj/N)，和 k=N/2+j 时是一样的(Exp(i \pi m)=-1^m，m 为整数)，也就是说 k=N/2+j 对应的大于 0.5/dt 的频率其实等于一个负数频率即(j-N/2)/T=j/T-0.5/dt，这就是输出数组排序按照零频-低频-高频-负高频-负低频的原因。